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《网络安全知识体系》
密码学知识（一）
数学
密码学本质上是数学的，因此读者将被假定熟悉许多概念。一本涵盖所需基础知识以及更多内容的好教科书是加尔布雷思的教科书。
在继续之前，我们将设置一些符号：整数环用Z表示，而有理数、实数和复数的领域用Q、R和C表示。整数模N的环将由Z=NZ表示，当N是素数p时，这是一个通常用Fp表示的有限域。可逆元素的集合将被写入（Z=NZ）_或F_p。RSA模N将表示整数N，它是两个（大）素因数N=p_q的乘积。
素数阶q的有限阿贝尔群也是一个基本构造。这些要么是乘法写的，在这种情况下，对于某些x2Z=qZ，元素写为gx;当加法写时，元素可以写为[x]_P。元素g（在乘法情况下）和P（在加法情况下）称为生成器。
密码学中使用的有限阿贝尔素数群的标准例子是椭圆曲线。有限域Fp上的椭圆曲线是解的集合（X;Y）到形式的方程
E:Y2=X3+A_X+B
其中A和B是固定常量。这样的一组解，加上用O表示的无穷大的特殊点，形成一个用E（Fp）表示的有限阿贝尔群。群定律是可追溯到牛顿和费马的经典定律，称为弦切过程。当仔细选择A和B时，可以确保E（Fp）的大小是素数q。这将在后面的第2.3节中很重要，以确保椭圆曲线中的离散对数问题是困难的。
一些加密方案使用晶格，晶格是Rn子群的离散子群。晶格可以通过生成矩阵B2Rn_m来定义，其中B的每一列形成一个基元素。然后，晶格是形式为y=B_x的元素集合，其中x的范围在Zm中的所有元素上。由于晶格是离散的，因此它具有最短非零向量的井德细长。在2.3节中，我们注意到找到这个最短的非零向量是一个困难的计算问题。
从集合A中对均匀随机元素进行采样将用xA表示。如果集合A由单个元素a组成，我们将它写为赋值xa;等号符号=保留给等式而不是赋值。如果A是随机算法，那么我们写xA（y;r）用于将运行A的输出分配给x，使用随机硬币r在输入y上运行A。
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原文始发于微信公众号（河南等级保护测评）：密码学知识域（二）数学
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