回溯

admin 2022年1月6日01:36:26安全博客评论10 views2037字阅读6分47秒阅读模式

概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的,规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。

基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。

若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。

一般步骤:

(1)针对所给问题,确定问题的解空间:

首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。

(2)确定结点的扩展搜索规则

(3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

算法框架

递归

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int a[n];
try(int i)
{
if(i>n)
输出结果;
else
{
for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径
{
if(fun(j)) // 满足限界函数和约束条件
{
a[i] = j;
... // 其他操作
try(i+1);
回溯前的清理工作(如a[i]置空值等);
}
}
}
}

非递归

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int a[n],i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走) and (未达到目标)) // 还未回溯到头
{
if(i > n) // 搜索到叶结点
{
搜索到一个解,输出;
}
else // 处理第i个元素
{
a[i]第一个可能的值;
while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
{
a[i]下一个可能的值;
}
if(a[i]在搜索空间内)
{
标识占用的资源;
i = i+1; // 扩展下一个结点
}
else
{
清理所占的状态空间; // 回溯
i = i –1;
}
}

子集树与排列树

下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树。

(1)当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时,相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题(如下图)所相应的解空间树是一棵子集树,这类子集树通常有2^n个叶结点,其结点总个数为2^(n+1)-1。遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间。

用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为:

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/**
* output(x) 记录或输出得到的可行解x
* constraint(t) 当前结点的约束函数
* bount(t) 当前结点的限界函数
* @param t t为当前解空间的层数
*/
void backtrack(int t){
if(t >= n)
output(x);
else
for (int i = 0; i <= 1; i++) {
x[t] = i;
if(constraint(t) && bount(t))
backtrack(t+1);
}
}

(2)当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题(如下图)的解空间树是一棵排列树,这类排列树通常有n!个叶结点。遍历子集树的算法需Ω(n!)计算时间。

用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为:

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/**
* output(x) 记录或输出得到的可行解x
* constraint(t) 当前结点的约束函数
* bount(t) 当前结点的限界函数
* @param t t为当前解空间的层数
*/
void backtrack(int t){
if(t >= n)
output(x);
else
for (int i = t; i <= n; i++) {
swap(x[t], x[i]);
if(constraint(t) && bount(t))
backtrack(t+1);
swap(x[t], x[i]);
}
}

例题

  1. 数字键盘组合
  2. IP 地址划分
  3. 在矩阵中寻找字符串
  4. 输出二叉树中所有从根到叶子的路径
  5. 排列
  6. 含有相同元素求排列
  7. 组合
  8. 组合求和
  9. 含有相同元素的组合求和
  10. 1-9 数字的组合求和
  11. 子集
  12. 含有相同元素求子集
  13. 分割字符串使得每个部分都是回文数
  14. 数独
  15. N 皇后

https://github.com/CyC2018/CS-Notes/blob/master/notes/Leetcode%20%E9%A2%98%E8%A7%A3%20-%20%E6%90%9C%E7%B4%A2.md

参考文章

五大常用算法之四:回溯法
回溯法的解题步骤与例子解析

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