概率论几个有意思的模型

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问题：袋子中有a个黑球，b个白球，现在一只只的摸出来，求第k次摸出黑球的概率。（a ≤ k ≤ a + b)

本题有两个解法，首先考虑是有次序的，也就是排列方法，另一个就是组合解法。

排列方法的样本空间就是对a+b个球进行了全排列，也就是$(a+b)!$，然后填充第k个位置，选一个黑球，有a个选择，然后就是对(a+b-1)的位置放球，有(a+b-1)!种方法。所以得到

$$P = \frac{a × (a + b - 1)!}{(a + b)!} = \frac{a}{a + b}$$

第二种解法就是认为全部的球就两部分，黑的和白的，认为同种颜色的球之间没有区别。先把黑球放好的话，有$C_{a + b}^{a}$种方法。这个事情做完了，剩下的都是白球了。有利场合就是$C_{a + b - 1}^{a - 1}$种。所以

$$P=\frac{C_{a + b - 1}^{a - 1}}{C_{a + b}^{a}}=\frac{a}{a + b}$$

这样的话，最后的结果很重要，结果和k是没有关系的，最终的概率都是一样的，这个也是抽签的模型。这个证明显示抽签的前后顺序是不影响结果的。

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现在有n个球，每个球都有相同的概率$\frac{1}{n}$落到N个格子里面(N大于等于n)的每一个格子中，求

1. 某指定的n个格子中各有一个球的概率P(A)
2. 任何n个格子中各有一个球的概率P(B)

要注意的是一个格子中可以放多个球。

第一问是先在N个格子中选出n个进行有重复的排列，样本空间就是$N^{n}$，比如第一个有N种方法，第二次还是N个，以后还是。
因为已经指定了n个格子，相当于n个球进行了全排列，有利场合就是$n!$。

第二问因为n个格子是任意的，首先要挑出n个格子，然后对n个球进行全排列。有利场合就是$C_{N}^{n} × n!$。结果是

$$P(B) = \frac{C_{N}^{n} × n!}{N^{n}}=\frac{N!}{N^{n}(N - n)!}$$

实际应用一下，有n个人(n < 365)，每个人的生日都不一样的概率就可以套用第二问，每个格子都有一个人，而且只有一个人。n个人中至少两个人生日相同的概率就可以使用1 - P(B)

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蒙提霍尔问题

问题详情参考
http://wiki.mbalib.com/wiki/%E4%B8%89%E9%97%A8%E9%97%AE%E9%A2%98

使用Python模拟就好了

# coding=utf-8
import random


# 不改变选择
def do_not_change():
    prize = ["goat", "goat", "car"]
    random.shuffle(prize)
    return prize[random.randint(0, 2)] == "car"


# 不确定改不改变
def random_selection():
    # 不确定改不改变的话，也就是在除去主持人打开的门之后再随机选择一个
    prize = ["goat", "car"]
    random.shuffle(prize)
    return prize[random.randint(0, 1)] == "car"


# 改变选择
def change():
    prize = ["goat", "goat", "car"]
    random.shuffle(prize)
    choice = random.randint(0, 2)
    prize.pop(choice)
    for i in [0, 1]:
        # 主持人选择山羊
        if prize[i] == "goat":
            prize.pop(i)
            break
    # 选择最后一个
    return prize[0] == "car"

count = 0
for i in range(100000):
    if do_not_change():
        count += 1

print u"不改变选择", count / 100000.0

count = 0
for i in range(100000):
    if random_selection():
        count += 1
print u"不确定改不改变选择", count / 100000.0

count = 0
for i in range(100000):
    if change():
        count += 1
print u"改变选择", count / 100000.0

"""
最终结果
不改变选择 0.33098
不确定改不改变选择 0.50006
改变选择 0.6637
"""

FROM :strcpy.me | Author:strcpy