【密码学】基于编码的密码学学习笔记(五) 对偶码

在上一篇文章当中，我们学习了线性码和它的校验矩阵，本篇文章，我们来看一下对偶码。对于对偶这个概念。

前置知识

我们，接着简单的回顾一下有关于线性代数的知识，首先，我们来看一下向量内积的概念。

对于两个向量和，其中，他们的内积定义为

特别的，如果，我们称向量正交。

显然，对于内积运算，我们有一些性质，这里我们就不证明了，有兴趣的读者，可以查阅线性代数的相关资料。

对于任意的向量，以及，我们有

1. 如果，无法推出

对偶码

定义

有了前面的补充，我们就可以来定义对偶码了，设是一个线性码，其对偶码是所有与原码字正交的向量构成的集合

通过定义，我们可以发现，对于原码的生成矩阵，他是一个的矩阵，这里还是使用行向量生成码字。根据对偶码的定义，我们可以发现，如果我们可以找到另外的一个矩阵，使得

也就是行正交，那么对于矩阵生成的码就是对偶码的生成矩阵。因此，对于对偶码来说，他的维数是，也就是他是一个线性码。

接下来，我们来考虑，对偶码的对偶码，不要被这个关系绕进去，也就是，我们考虑

首先，对于任意的码字，根据对偶码的定义，对所有，有，因此满足的条件，也就是。

这也就是说，我们有

根据，前面我们得到的维度的关系，对于的维度为k, 则的维度为n-k, 那么对于的维度依然为k。

由于，在有限维的向量空间中，如果一个子空间A包含于另一个子空间 B, 并且，则，因此，根据我们前面的推导，我们有

校验矩阵

在前面，我们提到了一个矩阵，他满足

我们成这个矩阵为码的校验矩阵。那么，接下来，我们来看一下，我们如何来构造这个矩阵。

如果，是一个系统码，那么我们可以比较容易的构造这个矩阵，我们定义

其中是一个的单位矩阵，是一个的矩阵。我们可以如下构造校验矩阵

我们来简单的证明一下，

所以，我们可以这么构造，而对于非系统码，我们可以先根据线性变换，变换成为系统码，然后在来构造。

例子

我们还是用，之前的来举例，对于生成矩阵

我们来构造，

可以验证

也就是，说明，他是一个对偶码。

总结

本文，我们主要了解了对偶码和校验矩阵的知识，对偶码和校验矩阵是编码理论中的核心工具，对于对偶码和校验矩阵，是可以用来检错和纠错的，比如如果和对偶码的码字和对偶码的内积不是0，那么就可以说明传输过程出现了错误。有关于这些详细部分，我们后续再聊，好了，快乐的时光过的特别快，又到了说再见的时候了，咱们下次再见~~

参考资料

1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A7%A9%E2%80%94%E9%9B%B6%E5%8C%96%E5%BA%A6%E5%AE%9A%E7%90%86
2. https://courses.smp.uq.edu.au/MATH3302/2010/files/codingnotes.pdf
3. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-88702-7_4
4. https://www.itsoc.org/sites/default/files/2021-11/Code-Based%20Cryptography.pdf