格密码

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2022年1月10日03:22:40评论103 views字数 7756阅读25分51秒阅读模式

线性独立空间上有集合 $v_1,\cdots,v_n \in \mathbb{R}^n$，格（Lattices）就是这些向量的线性组合，用公式表示为：

$L=\{a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n \mid a_1,a_2,\cdots,a_n \in \mathbb{Z}\}$。

格 $L$ 的维数等于格中向量的个数。

假定 $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 是格 $L$ 的基，$w_1,w_2,\cdots,w_n \in L$，则必然存在整系数 $a_{ij}$ 使得：

$\begin{cases} w_1=a_{11}v_1+a_{12}v_2+\cdots+a_{1n}v_n \\ w_2=a_{21}v_1+a_{22}v_2+\cdots+a_{2n}v_n \\ \vdots \\ w_n=a_{n1}v_1+a_{n2}v_2+\cdots+a_{nn}v_n \end{cases}$

这样，格的问题就是矩阵运算了。

最短向量问题（SVP，The Shortest Vector Problem）：

寻找一个格 $L$ 中最短的非零向量。即，寻找一个 $v \in L$ 满足其欧几里德范数 $\mid\mid v \mid\mid$ 最小。

最接近向量问题（CVP，The Closest Vector Problem）：

对于一个非格 $L$ 中的向量 $w$，在格中寻找一个向量 $v$，使得 $\mid\mid w-v \mid\mid$ 最小。

CVP和SVP都是NP完备问题，因此求解起来十分困难，因此这两个问题都是可以作为密钥体制的基础的。

构造示例

$bm-kn-c=-r \Longrightarrow \begin{bmatrix} m & -1 & -k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & b \newline 0 & 2^{400} & c \newline 0 & 0 & n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} m & -2^{400} & -r \end{bmatrix}$

NRTU格密码

NTRU是一个带有专利保护的开源公开密钥加密系统，使用基于格的加密算法来加密数据。它包括两部分算法：NTRUEncrypt用来加密，NTRUSign用来进行数字签名。与其他流行的公钥加密系统不同，它可以防止被Shor算法破解，并显著提升了性能。

在同等加密强度下，NTRU执行大开销的私钥操作比RSA算法快得多。RSA算法的私钥操作耗时与密钥长度呈三次方关系，而NTRU相应操作为二次方关系。

NTRU密码体制，需要三个整数参数 $(N,p,q)$ 和四个次数为 $N-1$ 的整系数多项式集合 $L_f,L_g,L_{\varphi},L_m$，在这里 $N$ 为一素数，$p,q$ 可以不必为素数，但为安全，要求 $\gcd(p,q)=1$，且 $q$ 远大于 $p$。

NTRU工作于多项式整数环 $\mathbb{R}=\mathbb{Z}[x]/(x^N-1)$，当 $F \in \mathbb{R}$，可以把 $F$ 表示为多项式或向量形式，$F=\sum\limits_{i=0}^{N-1}F_ix^i=[F_0,F_1,\cdots,F_{N-1}]$。

在这里记 $L(d_1,d_2)=\{F \in \mathbb{R}:F$ 有 $d_1$ 个系数为 $1$，$d_2$ 个系数为 $-1$，其余为 $0\}$，选取三个确定的整数 $d_f,d_g,d_{\varphi}$，多项式集合 $L_f=L(d_f,d_{f-1}),L_g=L(d_g,d_g),L_{\varphi}=L(d_{\varphi},d_{\varphi})$，而 $L_m=\{m \in \mathbb{R}:m$ 的系数位于区间 $[-\cfrac{p-1}{2},\cfrac{p-1}{2}]$，其中 $p$ 为素数 $\}$。

密钥生成

B随机选择两个多项式 $f$ 和 $g$，$f\in L_f,g\in L_g$，要求 $f$ 关于模 $p$ 和模 $q$ 的逆 $F_p,F_q$ 都存在，也即 $F_q \star f \equiv 1 \pmod q$ 和 $F_p \star f \equiv 1 \pmod p$，这里可以用扩展欧几里得算法计算出 $F_p$ 和 $F_q$。为此， $f$ 首先应满足 $\gcd(f(1),pq)=1$，如果有一个逆不存在，需重新选择 $f$。

然后，B计算 $h \equiv F_q \star g \pmod q$，则公钥为 $h$，私钥为 $f$，但在实际中，还将存储 $F_p$，因而一般认为私钥为 $(f,F_p)$。
加密

假设A想发送信息 $m \in L_m$ 给B，他将根据参数 $d_{\varphi}$ 随机选择一个 $\varphi \in L_{\varphi}$，然后，他利用B的公钥 $h$ 计算

$e \equiv \varphi \star h+m \pmod q$

A把密文 $e$ 发送给B。
解密

当B收到密文 $e$ 后，他首先利用私钥 $f$ 计算

$a \equiv f \star e \pmod q$

选择 $a$ 的系数位于 $[-\cfrac{p-1}{2},\cfrac{p-1}{2}]$ 之间，然后计算

$b \equiv a \pmod p$

$c \equiv F_p \star b \pmod p$

则多项式 $c$ 就是明文 $m$。
构造矩阵

$B^{NT}= \left(\begin {array}{c} I & H \newline 0 & q \end{array} \right) =\left(\begin {array}{cccc|cccc} \lambda & 0 & \cdots & 0 & h_0 & h_1 & \cdots & h_{N-1} \newline 0 & \lambda & \cdots & 0 & h_{N-1} & h_0 & \cdots & h_{N-2}\newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & \cdots & \lambda & h_1 & h_2 & \cdots & h_0 \newline \hline 0 & 0 & \cdots & 0 & q & 0 & \cdots & 0 \newline 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & q & \cdots & 0 \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & q
\end{array} \right) $

其中 $H$ 是根据公钥多项式的系数生成的循环矩阵。

构建一个这样的矩阵，然后进行LLL算法得到解密密钥。
参考

从一道CTF题初探NTRU格密码

Practical lattice-based cryptography: NTRUEncrypt and NTRUSign

#Sage
h = 
p = 
c = 

v1 = vector(ZZ, [1, h])
v2 = vector(ZZ, [0, p])
m = matrix([v1,v2]);
f, g = m.LLL()[0]
print(f, g)

a = f*c % p % g
m = a * inverse_mod(f, g) % g
print(bytes.fromhex(hex(m)[2:]))

#Sage 
#多项式
N =
p =
q =
Q.<x> = Zmod(q)[]
P.<y> = Zmod(p)[]

ex = 
hx = 

print('-------decrypt------')
qq = x^N-1
pp = y^N-1
hn = [int(x) for x in hx.coefficients()]
n = len(hn)
A1 = matrix.identity(n)
A0 = matrix.zero(n)
Aq = matrix.identity(n) * q
Ah = matrix(ZZ, [hn[-i:] + hn[:-i] for i in range(n)])
M = block_matrix([A1,Ah,A0,Aq],nrows=2)
L = M.LLL()
v = L[0]
f = list(v)[:n]
g = list(v)[n:]
fx = Q(f)
fy = P(f)
gx = Q(g)
Fqx = fx.inverse_mod(qq)
Fpy = fy.inverse_mod(pp)

#hxx = (Fqx*gx).mod(x^N-1)
#print(hxx==hx)

ax = (fx*ex).mod(qq)
an = [int(x) for x in ax.coefficients()]
#中心提升(centerlift)，使域范围从[0,q)变换到(-q/2,q/2)
for i in range(len(an)):
	if an[i] > q//2:
		an[i] -= q
ax = P(an)
print(ax)
out = (Fpy * ax).mod(pp)
print(out)

print(bytes(out.coefficients()))

GGH加密

1997年，Goldreich、Goldwasser、Halevi三人受Ajtai在格难题上的研究所启发，提出了一个基于格中最近向量难题的非对称密码学算法：GGH Cryptosystem。

1999年，Nguyen发现在这个密码学算法设计中，有一个很大的缺陷，可以使攻击者从密文中获取到明文的部分信息，且可以将原来的最近向量难题转化为一个较为简单的最近向量难题。基于这个观察，Nguyen解出了设计者放在网上的5个challenge中的4个（其中有2个被设计者认为是不可能攻破的），足以证明该密码算法是broken的。

定义

GGH包含一个私钥和一个公钥，选取格 $L$ 的一组好基 $B$ 和一个幺模矩阵 $U$ 作为私钥，计算 $L$ 的另一组基 $B’=UB$ 作为公钥。

选定 $M$ 值，明文向量 $(m_1,m_2,\cdots,m_n), \quad m_i \in(-M,M)$。
- 加密
  1. 给定明文 $m=(m_1,m_2,\cdots,m_n)$，误差向量 $e$，和公钥 $B’$，计算 $v=m \cdot B’=\displaystyle\sum m_ib_i’$；
  2. 密文 $c=v+e=m \cdot B’+e$。
- 解密
  1. 计算 $c \cdot B^{-1}=(m \cdot B’+e)B^{-1}=m \cdot U \cdot B \cdot B^{-1}+e \cdot B^{-1}=m \cdot U+e \cdot B^{-1}$；
  2. 如果 $e \cdot B^{-1}$ 足够小，可利用Babai最近平面算法的变种Babai rounding technique去除；
  3. 最后计算 $m=m \cdot U \cdot U^{-1} $ 得到明文。
GGH中的误差向量的选取是3或者-3。

求解

利用Nguyen’s Attack算法。

# Sage 
# Read ciphertext and public key.
c = []
c = vector(ZZ, c)

B = []
B = matrix(ZZ, B)

# Nguyen's Attack.
n = 150
delta = 3
s = vector(ZZ, [delta]*n)
B6 = B.change_ring(Zmod(2*delta))
left = (c + s).change_ring(Zmod(2*delta))
m6 = (B6.solve_left(left)).change_ring(ZZ)
new_c = (c - m6*B) * 2 / (2*delta)

# embedded technique
new_B = (B*2).stack(new_c).augment(vector(ZZ, [0]*n + [1]))
new_B = new_B.change_ring(ZZ)

new_B_BKZ = new_B.BKZ()
shortest_vector = new_B_BKZ[0]
mbar = (B*2).solve_left(new_c - shortest_vector[:-1])
m = mbar * (2*delta) + m6

print(bytes.fromhex(hex(m)[2:]))

# Sage
# e=mW+r
from sage.modules.free_module_integer import IntegerLattice

W = 
e = 

B = W.stack(e).augment(vector([0] * W.ncols() + [1]))
r = IntegerLattice(B).shortest_vector()
print('r = {}'.format(r))

m = W.solve_left(e - r[:-1])
print('m = {}'.format(m))

参考

GGH encryption scheme

GYCTF 2020 - GGH

LWE问题

容错学习问题（LWE问题， Learning With Errors）是一个机器学习领域中的怀疑难解问题，由Oded Regev 在2005年提出，他因此赢得2018年哥德尔奖。这是一个极性学习问题的一般形式。

定义

随机选取一个矩阵 $\mathbf{A} \in \mathbb{Z}_q^{m \times n}$，一个随机向量 $\mathbf{s} \in \mathbb{Z}_q^n$，和一个随机的噪音 $\mathbf{e} \in \varepsilon^m$。

一个LWE系统的输出 $g_\mathbf{A}(\mathbf{s, e}) = \mathbf{As + e} \pmod q$。

一个LWE问题是，给定一个矩阵 $\mathbf{A}$，和LWE系统的输出 $g_\mathbf{A}(\mathbf{s, e})$，还原 $\mathbf{s}$。

LWE的误差向量是一个满足正态分布的小向量。

因为加入了一些误差，如果使用高斯消元法的话，这些误差会聚集起来，使得解出来的东西跟实际值差很多。

求解

利用LLL算法和Babai最近平面算法，可以在多项式时间内找到近似解。

#脚本1-小规模
#Sage
from sage.modules.free_module_integer import IntegerLattice

row = 
column = 
prime = 

ma = 
res = 

W = matrix(ZZ, ma)
cc = vector(ZZ, res)

# Babai's Nearest Plane algorithm
def Babai_closest_vector(M, G, target):
    small = target
    for _ in range(5):
        for i in reversed(range(M.nrows())):
            c = ((small * G[i]) / (G[i] * G[i])).round()
            small -=  M[i] * c
    return target - small

A1 = matrix.identity(column)
Ap = matrix.identity(row) * prime
B = block_matrix([[Ap], [W]])  
lattice = IntegerLattice(B, lll_reduce=True)
print("LLL done")
gram = lattice.reduced_basis.gram_schmidt()[0]
target = vector(ZZ, res)
re = Babai_closest_vector(lattice.reduced_basis, gram, target)
print("Closest Vector: {}".format(re))

R = IntegerModRing(prime)
M = Matrix(R, ma)
M = M.transpose()

ingredients = M.solve_right(re)
print("Ingredients: {}".format(ingredients))

m = ''
for i in range(len(ingredients)):
    m += chr(ingredients[i])
print(m)

#脚本2-大规模
#Sage
from sage.modules.free_module_integer import IntegerLattice
from random import randint
import sys
from itertools import starmap
from operator import mul

# Babai's Nearest Plane algorithm
# from: http://mslc.ctf.su/wp/plaidctf-2016-sexec-crypto-300/
def Babai_closest_vector(M, G, target):
  small = target
  for _ in range(1):
    for i in reversed(range(M.nrows())):
      c = ((small * G[i]) / (G[i] * G[i])).round()
      small -= M[i] * c
  return target - small

m = 
n = 
q = 

A_values = 
b_values = 

A = matrix(ZZ, m + n, m)
for i in range(m):
  A[i, i] = q
for x in range(m):
  for y in range(n):
    A[m + y, x] = A_values[x][y]
lattice = IntegerLattice(A, lll_reduce=True)
print("LLL done")
gram = lattice.reduced_basis.gram_schmidt()[0]
target = vector(ZZ, b_values)
res = Babai_closest_vector(lattice.reduced_basis, gram, target)
print("Closest Vector: {}".format(res))

R = IntegerModRing(q)
M = Matrix(R, A_values)
ingredients = M.solve_right(res)

print("Ingredients: {}".format(ingredients))

for row, b in zip(A_values, b_values):
  effect = sum(starmap(mul, zip(map(int, ingredients), row))) % q
  assert(abs(b - effect) < 2 ** 37)

print("ok")

参考

初探全同态加密之二：格密码学与LWE问题

祥云杯 2020 - easy matrix

Aero CTF 2020 - Magic II

XNUCA2020 - diamond

FROM:Lazzaro Author:Lazzaro

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NRTU格密码

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