sage常用命令

这里会记录一点点sage比较好用的命令，简易手册原文件丢这里了，平时再遇到一些好用的命令应该还会更新。

基本语法：

将整数转化为二进制列表

sage: 10.bits()

基本代数

解方程

solve 函数用于解方程。要使用它，先要指定变量，然后将方程（或方程组）以及要求解的变量作为参数 传给 solve。

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sage: var('x y p q')sage: eq1 = p+q==9 sage: eq2 = q*y+p*x==-6 sage: eq3 = q*yˆ2+p*xˆ2==24 sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y) [
, 
]要求解的近似值，可以这样：sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution dict=True) sage: [
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.n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns] [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039], [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

求解方程的数值解

用 find root 在区间 0 < ϕ < π/2 上寻找上述方程的解。

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sage: phi = var('phi') sage: find root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2) 0.785398163397448..

基本的环

• 整数环 {…,−1,0,1,2,…}, Sage 中叫 ZZ;

• 有理数环 ，即整数构成的分数，Sage 中叫 QQ;

• 实数环，Sage 中叫 RR;

• 复数环，Sage 中叫 CC；

sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)

ratpoly是集合的名字，自己定义

.<t>是变量的名字，自己定义

PolynomialRing()是环

QQ是有理数环

有限域还有，GF(2)、GF(2^8,modulus=[1,0,0,1,1,1,0,0,1]) ……

线性代数

使用方法 solve right. 执行 A.solve right(Y) 返回一个矩阵（或向量）X 满 足 AX = Y:

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sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]]) sage: Y = vector([0, -4, -1]) sage: X = A.solve_right(Y) 反斜杠 \ 可以代替 solve_right; 用 A \ Y 代替 A.solve right(Y).sage: A \ Y

类似的，使用 A.solve left(Y) 求解满足 XA = Y 的 X.

矩阵所在的环影响它的性质。

matrix 命令中的第一个参数告诉 Sage 这个矩阵 是整数环 (ZZ) 上的，有理数环 (QQ) 上的，还是实数环 (RR) 上的:

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sage: AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]]) sage: AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]]) sage: AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]])

新建一个3*3的矩阵A

sage: A = Matrix(3,range(9))

A的阶梯形式

sage: A.echelon form()

A的转置矩阵

sage: A.T == A.transpose()

A的行向量

sage: A.rows()

A的列向量

sage: A.columns()

多项式

一元多项式

三种方式创建多项式环

sage: R = PolynomialRing(QQ, ‘t’)

sage: R = QQ[‘t’]

sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ) or sage: R.<t> = QQ[‘t’] or R.<t> = QQ[]

eg:

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sage: R.<t> = QQ[]sage: f = 2*t^7 +3*t^2 -15/19sage: f^24*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361

生成随机多项式

sage: R.<y> = PolynomialRing(GF(p))

sage: S = R.random_element(degree)

多项式的系数

sage: S.coefficients()

检测多项式是否不可约：

sage: S.is_irreducible()

(把多项式每一项的模数由p转变为S对应项的系数)

sage: RS = R.quotient(S)

将整数列表转为多项式对应项的系数（阶递增）

sage: R([111,222])222*y + 111

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F.<x> = GF(2^8,modulus=[1,0,0,1,1,1,0,0,1]) #感觉那个PolymonialRing都不用写了F.fetch_int(21) == F(21.bits())F(21.bits()).integer_representation()#逆过程

多元多项式

跟定义一元多项式一样，定义多元多项式也有多种方法：

sage: GF(5)[‘z0, z1, z2’]

sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[];

sage: PolynomialRing(GF(5), 3, ‘xyz’)

eg:

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sage: R.<x,y> = RationalField()[]sage: f = (x^3 +2*y^2*x)^2sage: g = x^2*y^2sage: f.gcd(g)x^2sage: gcd(f,g)x^2

数论

sage: R = IntegerModRing(97) or R = Zmod(97) #定义模数为97的环

sage: a = R(2) / R(3) #环上的除法

sage: a.is_square() #是否为二次剩余

sage: gcd(3,2) #最大公因数

sage: factorial(5) #阶乘

sage: next_prime() #后一个素数

sage: previous_prime() #前一个素数

sage: divisors() #所有因子

sage: sigma(n,k) #n的所有因子的k次幂之和

sage: inverse_mod(a,n) #求逆

两种因式分解

sage: factor(1024) -> 2^10sage: prime_divisors(1024) -> [2]

有限域下开根

sage: R.<X> = PolynomialRing(Zmod(p))

sage: f = x^256 - c

sage: f.monic().roots()

sage: euler_phi(n) #求n的欧拉函数 sage: phi = n*prod([1 - 1/p for p in prime divisors(n)]);

sage: crt(m1,m2,n1,n2) #中国剩余定理 【x % n1 = m1; x % n2 = m3】

Elliptic Curves

EllipticCurve(R, [a1, a2, a3, a4, a6]) eg:

sage: ecc = EllipticCurve(GF(q), [a,b]) #初始化一条线

sage: G = ecc(x,y) #选定其上的一个点

sage: G.order() #G点的阶

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