概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

算法框架

递归

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int a[n];
try(int i)
{
   if(i>n)
      输出结果;
    else
   {
      for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
      {
         if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件
           {
              a[i] = j;
           ...                         // 其他操作
             try(i+1);
          回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
           }
       }
    }
}

非递归

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int a[n],i;
初始化数组a[];
i = 1;
while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
{
   if(i > n)                                              // 搜索到叶结点
  {   
        搜索到一个解，输出；
   }
   else                                                   // 处理第i个元素
   { 
       a[i]第一个可能的值；
        while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
       {
          a[i]下一个可能的值；
       }
      if(a[i]在搜索空间内)
      {
          标识占用的资源；
          i = i+1;                              // 扩展下一个结点
      }
      else 
      {
           清理所占的状态空间；            // 回溯
           i = i –1; 
      }
}

子集树与排列树

下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树。

(1)当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题(如下图)所相应的解空间树是一棵子集树，这类子集树通常有2^n个叶结点，其结点总个数为2^(n+1)-1。遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间。

用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为：

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/**
 * output(x)     记录或输出得到的可行解x
 * constraint(t) 当前结点的约束函数
 * bount(t)      当前结点的限界函数
 * @param t  t为当前解空间的层数
 */
void backtrack(int t){
	if(t >= n)
		output(x);
	else
		for (int i = 0; i <= 1; i++) {
			x[t] = i;
			if(constraint(t) && bount(t))
				backtrack(t+1);
		}
}

(2)当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题(如下图)的解空间树是一棵排列树，这类排列树通常有n!个叶结点。遍历子集树的算法需Ω(n!)计算时间。

用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为：

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/**
 * output(x)     记录或输出得到的可行解x
 * constraint(t) 当前结点的约束函数
 * bount(t)      当前结点的限界函数
 * @param t  t为当前解空间的层数
 */
void backtrack(int t){
	if(t >= n)
		output(x);
	else
		for (int i = t; i <= n; i++) {
			swap(x[t], x[i]);
			if(constraint(t) && bount(t))
				backtrack(t+1);
			swap(x[t], x[i]);
		}
}

例题

1. 数字键盘组合
2. IP 地址划分
3. 在矩阵中寻找字符串
4. 输出二叉树中所有从根到叶子的路径
5. 排列
6. 含有相同元素求排列
7. 组合
8. 组合求和
9. 含有相同元素的组合求和
10. 1-9 数字的组合求和
11. 子集
12. 含有相同元素求子集
13. 分割字符串使得每个部分都是回文数
14. 数独
15. N 皇后

https://github.com/CyC2018/CS-Notes/blob/master/notes/Leetcode%20%E9%A2%98%E8%A7%A3%20-%20%E6%90%9C%E7%B4%A2.md

参考文章

五大常用算法之四：回溯法
回溯法的解题步骤与例子解析

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