密码学数学基础(十)

闰年的计算

闰年的计算规则是根据格里高利历的规定，它是公历历法的一种，是我们日常生活和科学研究中常用的历法之一。格里高利历是一种太阳历，它是由教皇格里高利十三世在1582年颁布的。相比于太阳历，格里高利历对于日历的计算更加准确，更符合实际需求。而闰年的计算规则就是为了保证格里高利历的精度而制定的。

根据格里高利历的规定，能被4整除但不能被100整除的年份为普通闰年，能被400整除的年份为世纪闰年。公历年份能被100整除但不能被400整除的年份不是闰年。例如，2004年是世纪闰年，1900年不是闰年。

为什么规定闰年的计算规则呢？其实这也是为了保证历法的准确性和精度。普通闰年有366天，而世纪闰年则有366天或366天以上，而且一般情况下，世纪闰年会有一个特殊的日期来纪念这个事件，比如2000年是闰年，因为它既能被400整除，又能被4整除。这种方式也被称为“四百年闰年法”。

那么问题来了，闰年为什么是按照上面的方法来计算呢？接下来，本文将引入一个新的知识点"连分数"来揭开闰年计算的面纱。

前情回顾

在讲述连分数的知识之前呢，我们先要来回顾下我们九年义务教育学过的计算最大公约数的方法，欧几里得除法。

欧几里得除法

在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英语：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。[^1]具体的算法流程如下，这里展示出来扩展的欧几里得算法的流程图:

连分数

有了上面欧几里得算法的基础呢，接下来我们就来看一下有关连分数的知识，这里的内容主要是参考参考资料1当中的内容。

定义

满足下面表达式的分数，我们称之为「简单连分数」

其中可以是任意整数，是非负整数。通常上面的表达式我们一般用如下方式来记:

案例

我们来看一个连分数具体的案例，案例来源于参考资料1，我们来看一下的连分数表达，首先对于这个数对运行欧几里得除法，运算过程如下。

通过上面的运算过程，我们可以得到最终的连分数表达为:

再根据上面的表示方案，我们可以得到。

连分数性质

有理数

所有的有理数都可以表示为一个有限的简单连分数，这一点不难理解，我们知道所有有理数都可以表示成为一个分数的形式，然后对于两个数字的欧几里得算法，他一定会终止，因此我们便可以得到有理数的简单连分数表示。

倒数

我们来看一下简单连分数的倒数，还是一看上面的那个例子，比如和，他们的简单连分数表示只是在前面差了一个0，样例如下:

好了，我们先看这么多连分数的知识，接下来我们来看一下闰年和连分数之间的关系。

闰年和连分数之间的关系

好了，上面呢，我们已经学习完成了有关于连分数的相关知识，那么接下来，我们回归一开始的那个问题，闰年为什么是那么设置的。

首先，我们都知道，一年有365天，这实际上是一个平均值，真实情况是地球公转一周的时间为365天5时48分46秒，剩余的5时48分46秒就是误差了，我们将上面那个式子给搞定成秒，可以计算得知

也就是说，在43200年当中，需要安排10463个闰年，才可以抵消这个误差，并且消除误差的最佳情况是均匀抵消，否则我们就有可能会体验到夏天过春节的快感了，但是如果说均匀抵消的话，那么记忆就成了一个大问题。

我们来看下上面那个分数的连分数表达式，最终可以表达为

根据上面的表达式，我们可以知道第一个渐进分数是，也就是每隔4年就需要增加一天，然后，我们再次来看，第三个渐进分数，也就是说，每个33年需要加8天，也就是每隔99年需要加24天，那么对于100年来说，这里就需要每100年少加一天，如果按照每隔100年，我们都加24天来说，那么43200年就需要加天，这里发现，这里还少了95天，这不太行，因此我们考虑每隔400年，在加上一天，也就是每400年多加一润，这么计算下来，我们会发现，最终每个3323年又多了一天，不过这种情况下，目前形式完全够用了，等真到了那个时候，再想办法修一天就好了，目前是完全够用了。

到这里，整个闰年的计算方案，就水落石出了，在回过头来看上面的算法，根据格里高利历的规定，能被4整除但不能被100整除的年份为普通闰年，能被400整除的年份为世纪闰年，这就非常清晰了。

总结

本文呢，通过闰年的计算方案，给读者们讲述了在数学当中用的还算是比较广泛的一个概念，连分数，当然本文讲述的连分数的应用还是比较浅显的，在密码学当中，连分数也有不少应用，这个等后面有时间再来写一下吧，到这里本文就结束了，感谢各位读者的观看。

参考资料

• https://pi.math.cornell.edu/~gautam/ContinuedFractions.pdf^[1]
• https://www.math.temple.edu/~yury/calendar/node3.html^[2]
• https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/ContinuedFractionsVI.pdf^[3]
• http://www.maths.liv.ac.uk/~mathsclub/talks/20020126/talk2/continued.pdf^[4]
• 
  

[^1]: https://zh.wikipedia.org/zh-hans/輾轉相除法^[5]

Reference