预研 | 基于最大似然估计的GNSS欺骗检测

*本文来自轩辕实验室张诚的研究成果和学习笔记。

基于最大似然估计（MLE）的定位方法最初用于处理弱GNSS信号和信号的多路径效应，本文介绍一种 估计-删除法 将最大似然估计应用于GNSS的欺骗检测上。

一、信号模型

GNSS基带信号可以如下表达：

其中：

• ：采样周期
• ：卫星数量
• ：采样数量
• ：第i个卫星信号的振幅
• ：第i个信号在t时刻的导航数据
• ：第i个信号在t时刻的伪随机码
• ：第i个信号的传递延迟
• ：第i个信号的多普勒频移
• ：第i个信号的载波相位
• ：零均值的附加高斯白噪声（AWGN） ，方差为

选取K个样本作为观测数据，上面的等式可以表示为：

其中：

• ，在观测期间τ和f可以被视为常量
• ，其中每个分量在观测时都有一个方差

二、基于最大似然法的定位

2.1 最大似然法

的概率密度函数可以表示为：

将记为 ， 是上述概率模型中的未知参数，它的最大似然估计为：

被称为最大似然估计代价函数， 可以通过对 求最值获得。

2.2 位置估计

可以可以通过用户的 PVT（位置、速度、时间）参数计算：

其中：

可以看出， 能通过PVT参数 确定，当存在至少4颗卫星时， 可以通过 求解出来。而 可以通过对 求最值计算出来，因此， 也可以通过对 求最值的方式推导出来。

三、基于最大似然估计的反欺骗方法

3.1 欺骗信号模型

当存在欺骗信号时，基带信号可以表示为（角标表示真实信号，表示欺骗信号）：

当欺骗信号与真实信号的位置存在偏差时，代价函数 形成多峰分布，如下：

在上图中，为了便于展示，将坐标的搜索空间限制在二维。其中 处表示真实的信号对应的峰值， 处为欺骗信号对应的峰值。

在上图中，欺骗信号功率高于真实信号，导致欺骗信号对应的峰值高于真实信号。因此，在这种情况下欺骗坐标的最大似然估计值大于真实信号，可见单纯的最大似然估计法不能用于欺骗检测。

3.2 估计-删除法（Estimation-Cancellation Approach）

将最大似然估计出的参数 记为 ，对应的信号可以表示为：

将 从原始信号中删去，得到残余信号：

当不存在欺骗信号时，残余信号主要包含噪声，当存在欺骗信号时，残余信号还包含一些GNSS信号。可以表示为如下两个假设：

包含3种情况，如下图所示，阴影部分代表 函数峰值对应的信号，(a)表示 = ，(b)表示 = ，(c)表示 与 和 都不相等：

前两种情况相似，以第一种情况为例，首先假设图(a)中真实信号和欺骗信号不重叠，则残余信号中仅包含真实信号和噪声，假设可写为：

对于，对 进行最大似然估计，可以得到估计值，记为 、、、，其中 、 可以用 表示。

对于，位置参数即为噪声的方差，记为 ，其最大似然估计为：

记 、 分别为 、 的似然函数，则广义似然比（GLRT）可以表示为：

构造一个检验统计量 ：

通过一些推导和近似，最终 可以被表示为如下的形式：

阈值 可以通过误报率 确定，二者关系为：

可以看出 与 有相同的单调性。当 ，可以接受 ，反之接受 ，即当统计量超过阈值时，认为系统存在异常GNSS信号。

上述的分析前提是真实信号和欺骗信号的交集为空，因此该情况下的检测成功概率可以被视为上限。当欺骗信号与真实信号较为接近时，该方法的检测效果不好，因此不适用于高精度的PVT结果。

3.3. 欺骗验证

从上述过程可以看出，当存在多路径效应（multipath）的信号时， 也可能超过阈值。但多个多路径信号之间很难形成一致性，而欺骗信号则不然。根据这点本文设计了一种欺骗验证方法来减少由多路径效应引起的误报。

当异常信号被检测出来后，可以计算出下面的统计量：

分别计算 和 超过阈值 的数量，分别记为 r1、r2，其中 ：

当r1、r2均大于4时，则表明信号中存在两组相关的信号，因此异常信号被认为是欺骗信号。

根据此，将3.2中的三种情况扩展到9中情形，如下表：

对于 Case1，即3.2中的情况(a)。

• 情形1可以正常检测和验证。
• 情形2由于欺骗信号和真实信号的最大似然估计峰值接近，导致残余信号中 r2 < 4，使得验证失败。但当欺骗信号逐步偏离真实信号时，残余信号的 r2 逐步增加，最终会变成情形1。
• 情形3由于真实信号的数量始终小于4，验证会失败。

Case2 与 Case1 情况类似。

原文始发于微信公众号（轩辕实验室）：预研 | 基于最大似然估计的GNSS欺骗检测